Hem

Matematik med Excel

Inledning till derivatan

Derivatan av sinus och cosinus

Kvadreringsregeln

Division av bråk ...

Pythagoreiska taltrippler

Kedjeregeln

Teckenregler

Bråk

Andragradsekvationer

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MathType till lägsta pris.

MathType är en kraftfull interaktiv formeleditor för Windows och Macintosh Med mathType kan du skapa matematiska formler för ordbehandling, webbsidor, desktop publishing, presentationer, eLearning och för TeX-, LaTeX- och MathML-dokument.

MathType är lättare och snabbare att arbeta med än ekvationsverktyget i Word.

 

Autograph, tredje generationens grafritare för skolor och universitet.

Derivator, integraler, analytisk geometri, statistik och sannolikhetslära

Nu med svenskt gränssnitt.

FX Draw, ett lättanvänt och kraftfullt ritprogram för matematiklärare och elever.

FX Graph, ett suveränt lättanvänt grafritarprogram.

Gratis läromedel i religion, 49 arbetsområden i Religion A samt En Historia om Kristendomen

 

 

Bråk

En ingående förklaring till bråkräkning.

Inledande exempel

7 personer delar på 2 tårtor så att varje person får lika stora portioner tårta.

Vi säger då att varje person får $\frac{2}{7}$ av en tårta.

De sju portionerna blir sammanlagt 2 tårtor, eller

Vi ser att 7$\cdot\frac{2}{7}=$

 

Slutsats 1: $\frac{2}{7}$ är det tal som multiplicerat med 7 ger resultatet 2.

Slutsats 2: $\frac{2}{7}$ är lösningen till ekvationen 7x=2.

Ekvationen 7x=2 har exakt en lösning.

 

Definition av bråk

a och b är reella tal. b är inte 0 eller b $\ne $ 0.

Bråket $\frac{a}{b}$ är det unika tal som multiplicerat med b ger resultatet a.

Vi kan också säga att $\frac{a}{b}$ är den unika lösningen till ekvationen bx =a eller att

$bx=a\Leftrightarrow x$=$\frac{a}{b}$

Varför kan inte nämnaren vara 0?

Vår definition kräver att ett bråk $\frac{a}{b}$, skall vara den enda lösningen till ekvationen bx = a

Vi skall därför undersöka ekvationen bx = a i det fall att b = 0.

Ekvationen 0x = a saknar lösning om a $\ne $ 0.

Ekvationen 0x =0 satisfieras av alla värden på x.

Vi ser att om b = 0, har inte ekvationen bx = a en unik lösning.

Vi ser att vår definition av bråk inte fungerar om b = 0. Man skulle då kunna tänka sig att hitta på en annan definition, som vinner allmän acceptans, av $\frac{a}{0}$. Detta har ingen hittills gjort.

Täljare och nämnare

I bråket $\frac{a}{b}$ kallas a täljare och b nämnare.

 

Några enkla konsekvenser av definitionen av bråk

$\frac{a}{1}$= a, ty 1$\cdot$a = a

$\frac{a}{a}$= 1, ty a$\cdot$1 = a

$\frac{1}{a}$$\cdot$ a = 1, ty $\frac{1}{a}$ är ju det tal, som multiplicerat med a ger resultatet 1.

$\frac{1}{\frac{1}{a}}$= a, ty $\frac{1}{a}$ $\cdot$ a = 1

 

Förlängning av bråk

Vi skall jämföra bråken $\frac{a}{b}$ och $\frac{ca}{cb}$, där c $\ne $ 0.

Vi har enligt vår definition av bråk att

b$\frac{a}{b}$=a vilket ger att

cb$\frac{a}{b}$=ca.

Vi ser att $\frac{a}{b}$ är en lösning till ekvationen

cbx = ca.

Men denna ekvation har den unika lösningen $\frac{ca}{cb}$.

Alltså är

$\frac{a}{b}$ = $\frac{ca}{cb}$, om c $\ne $ 0.

Lägg märke till att vårt resonemang gäller för alla reela tal, a, b och c $\ne $ 0.

Enligt ovan gäller $\frac{2}{7}$ = $\frac{3\cdot 2}{3\cdot 7}$=$\frac{6}{21}$ . Vi säger att bråket $\frac{6}{21}$ har bildats genom att bråket $\frac{2}{7}$ har förlängts med 3.

Kommentar

Vi skulle i ovanstående exempel kunna ha resonerat så här.

Vi delar 2 tårtor i 7 lika stora delar. Sedan gör vi samma sak med två andra likadana tårtor och sedan samma sak igen med ytterligare 2 likadana tårtor. Vi har då delat 6 tårtor i 21 lika stora bitar. Varje bit är utgör såväl $\frac{2}{7}$ av en tårta som $\frac{6}{21}$ av en tårta.

Därför måste $\frac{2}{7}$ = $\frac{6}{21}$.

Med ett sådant resonemang kan man övertyga sig om att

$\frac{a}{b}$ = $\frac{ca}{cb}$ om a, b och c är positiva heltal.

Vi kan inte tillämpa tårtresonemanget när det gäller förlängning av exempelvis bråk av typen $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ eller $\frac{2}{\frac{3}{7}}$.

Det är svårt att tänka sig att man delar $\sqrt{3}$ tårtor i $\sqrt{5}$ lika stora delar. Lika svårt är det att föreställa sig att man delar 2 tårtor i $\frac{3}{7}$ lika stora delar.

 

Förkortning av bråk

$\frac{6}{21}$= $\frac{3\cdot 2}{3\cdot 7}$=$\frac{2}{7}$

Vi säger att bråket $\frac{2}{7}$ har bildats genom att bråket $\frac{6}{21}$ har förkortats med 3.

Ett vanligt skrivsätt är

förkortning

 

Multiplikation av bråk

Vi skall undersöka produkten $\frac{a}{b}$$\cdot$$\frac{c}{d}$.

Vi har att

bd$\frac{a}{b}$$\frac{c}{d}$ =(b$\frac{a}{b}$)(d$\frac{c}{d}$) =ab, eftersom b$\frac{a}{b}$=a och d$\frac{c}{d}$=c enligt vår definition av bråk.

Vi ser att $\frac{a}{b}$$\cdot$$\frac{c}{d}$ är det tal som multiplicerat med bd ger resultatet ab. Därför är $\frac{a}{b}$$\cdot$$\frac{c}{d}$ = $\frac{ac}{bd}$ enligt definitionen av bråk.

Några exempel på multiplikation av bråk

1. a${\cdot}$$\frac{b}{c}$=$\frac{a}{1}$${\cdot}$$\frac{b}{c}$=$\frac{a\cdot b}{1\cdot c}$=$\frac{ab}{b}$

2. $\frac{a}{b}$=$\frac{1}{b}$${\cdot}$ $\frac{a}{1}$ = $\frac{1}{b}$${\cdot}$a.

3. $\frac{a}{b}$ $\cdot$$\frac{b}{a}$=$\frac{ab}{ba}$=1

3. $\frac{a}{b}$=$\frac{1}{b}$${\cdot}$ $\frac{a}{1}$ = $\frac{1}{b}$${\cdot}$a.

4. Man säger att $\frac{b}{a}$ är det inverterade bråket till $\frac{a}{b}$

Om man multiplicerar ett bråk med bråkets inverterade bråk blir resultatet 1.

Eftersom $\frac{a}{b}$$\cdot$$\frac{b}{a}$ = 1, är $\frac{b}{a}$=$\frac{1}{\frac{a}{b}}$

Produkten $\frac{a}{b}$$\cdot$$\frac{d}{c}$ och $\frac{c}{d}$ är $\frac{a}{b}$ eftersom produkten av $\frac{d}{c}$ och $\frac{c}{d}$ är 1.

$\frac{a}{b}$$\cdot$$\frac{d}{c}$ är det tal som multiplicerat med $\frac{c}{d}$ är 1 ger resultatet $\frac{a}{b}$.

Alltså är

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ = $\frac{a}{b}$$\cdot$$\frac{d}{c}$.

 

 

Division av bråk

Enligt ovan gäller:

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ = $\frac{a}{b}$$\cdot$$\frac{d}{c}$.

Summan av bråk

Summan av bråk med samma nämnare

$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$= $\frac{1}{c}$$\cdot$a + $\frac{1}{c}$$\cdot$b = $\frac{1}{c}$$\cdot$(a + b) = $\frac{a + b}{c}$.

Summan av bråk med olika nämnare

$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{d}$, där b$\ne $d

Vi förlänger ett eller båda bråken så att bråken får samma nämnare.

Man kan alltid göra så här.

Vi förlänger det första bråket med det andra bråkets nämnare och det andra bråket med det första bråkets nämnare. Vi får då

$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{d}$ = $\frac{ad}{bd}$+$\frac{bc}{bd}$ = $\frac{1}{bd}$$\cdot$ad + $\frac{1}{bd}$$\cdot$bc.

Eftersomde båda bråken nu har samma nämnare kan vi kan nu bryta ut $\frac{1}{bd}$.

$\frac{1}{bd}$$\cdot$ad + $\frac{1}{bd}$$\cdot$bc = $\frac{1}{bd}$$\cdot$(ad+bc) = $\frac{ad+bc}{bd}$