Definition av bråk

Om \(a\ne 0\) har ekvationen ax = b exakt en lösning eller en unik lösning.

\(\dfrac{a}{b}\) är det unika tal som har egenskapen att om man multiplicerar det med b så får man resultatet a.

Det gäller alltså att \(\dfrac{a}{b}\cdot b=a.\)

Vi kan också säga att \(\dfrac{a}{b}\) är den unika lösningen till ekvationen ax = b.

Det vågräta strecket i uttrycket \(\frac{a}{b}\) kallas bråkstreck medan det lutande strecket i a/b ofta kallas divisionstecken. Ett annat förekommande divisionstecken är ÷.

Division

Om man lyckas förenkla bråket 56/7 så att man förstår att

56/7 = 8 så har man utfört divisionen 56/7. Man säger också att man har dividerat 56 med 7.

Att dividera a med b innebär att förenkla bråket \(\dfrac{a}{b}\).

 

 

Division med rest

Bråket \(\dfrac{58}{7}\) går inte att förenkla lika enkelt som \(\dfrac{56}{7}\).

Om man skriver \(58=8\cdot 7+2\), så har man dividerat 58 med 7 och fått resten 7.

 

Division av bråk

Vi tänker oss att inget av talen b, c eller d är noll. Vi skall förenkla

\[\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}\].

Vi dividerar alltså bråket \(\dfrac{a}{b}\) med bråket \(\dfrac{c}{d}\).

Det är bra om man, innan man sätter i gång, har klart för sig vad ett bråk är. Eftersom vi har definierat vad ett bråk är har vi goda förutsättningar att lyckas. Det gäller alltså att hitta en lösning till ekvationen

\[\frac{c}{d}x=\frac{a}{b}\]

Vi vet att

\[\frac{d}{c}\frac{c}{d}=\frac{dc}{cd}=1\]

Alltså får vi

\[\frac{a}{b}=1\cdot \frac{a}{b}=\frac{d}{c}\cdot \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\cdot \left( \frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c} \right)\]

 

Detta innebär att \[\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}\] är lösningen till ekvationen \(\dfrac{c}{d}\cdot x=\dfrac{a}{b}\).

Resultat

Alltså är

\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}\]

Kommentar 1

Om \(y\cdot z\) = 1 säger man att z är den multiplikativa inversen till y.

Vi skriver \(z={y}^{-1}\). Det gäller även att y är multiplikativ invers till z och \(y={z}^{-1}\).

Eftersom \(\dfrac{d}{c}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{dc}{cd}=1\) gäller att

\[{{\left( \frac{c}{d} \right)}^{-1}}=\frac{d}{c}.\]

Man säger även att \(\dfrac{d}{c}\) är det inverterade bråket till \(\dfrac{c}{d}\) och vice versa.

Sammanfattning

När man ett bråk skall divideras med ett annat skall det första bråket multipliceras med det inverterade bråket till det andra bråket.

 

Uppgift

Hitta på ett ”real life problem” som leder till att man får anledning att beräkna \(\dfrac{\dfrac{4}{27}}{\dfrac{7}{30}}\) .

Förslag till problem

4 kusiner fick tillsammans med sina övriga 23 kusiner ärva lika mycket var efter en faster.

7 kusiner fick tillsammans med sina övriga 23 kusiner ärva lika mycket var efter en onkel.

De först nämnda 4 kusinerna fick tillsammans lika mycket som de senare nämnda 7 kusinerna.

Bestäm förhållandet mellan kvarlåtenskapen efter onkeln och kvarlåtenskapen efter fastern.