Hem

Matematik med Excel

Inledning till derivatan

Derivatan av sinus och cosinus

Kvadreringsregeln

Division av bråk ...

Pythagoreiska taltrippler

Kedjeregeln

Teckenregler

Bråk

Andragradsekvationer

Induktionsbevis

Logaritmer

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MathType till lägsta pris.

MathType är en kraftfull interaktiv formeleditor för Windows och Macintosh Med mathType kan du skapa matematiska formler för ordbehandling, webbsidor, desktop publishing, presentationer, eLearning och för TeX-, LaTeX- och MathML-dokument.

MathType är lättare och snabbare att arbeta med än ekvationsverktyget i Word.

 

Autograph, tredje generationens grafritare för skolor och universitet.

Derivator, integraler, analytisk geometri, statistik och sannolikhetslära

Nu med svenskt gränssnitt.

FX Draw, ett lättanvänt och kraftfullt ritprogram för matematiklärare och elever.

FX Graph, ett suveränt lättanvänt grafritarprogram.

Gratis läromedel i religion, 49 arbetsområden i Religion A samt En Historia om Kristendomen

 

 

Induktionsbevis - matematisk induktion

Modus ponens - en slutledningsregel

p och q är påståenden.

p $\Rightarrow $ q betyder p medför q eller om pq.

Om påståendena p och p $\Rightarrow $ q är sanna är påståendet q sant.

Exempel

p är påståendet att Kalle bor i Helsingborg. Vi skriver kort

p: Kalle bor i Helsingborg

q är påståendet att Kalle bor i Skåne. Eller kortare q: Kalle bor i Skåne.

p $\Rightarrow $ q är då påståendet att om Kalle bor i Helsingborg så bor Kalle i Skåne, vilket ju är ett sant påstående.  Av detta kan vi inte dra slutsatsen att Kalle bor i Skåne.

Men om det är faktiskt är sant att Kalle bor i Helsingborg kan vi dra slutsatsen att Kalle bor i Skåne.

Induktionsbevis


Vi tänker oss att vi för varje naturligt tal n > 0 har ett påstående ${{p}_{n}}$.

  1. ${{p}_{1}}$ är sant.  
  2. ${{p}_{n}}\Rightarrow {{p}_{n+1}}$ för alla naturliga tal n > 0.

Då är alla påståendena ${{p}_{n}}$ sanna.

Eftersom ${{p}_{1}}$är sant och ${{p}_{1}}\Rightarrow {{p}_{2}}$ är ${{p}_{2}}$ sant.

Eftersom ${{p}_{2}}$är sant och ${{p}_{2}}\Rightarrow {{p}_{3}}$ är ${{p}_{3}}$ sant.

Eftersom ${{p}_{3}}$är sant och ${{p}_{3}}\Rightarrow {{p}_{4}}$ är ${{p}_{4}}$ sant.

Så här kan man fortsätta så småningom når man fram till är ${{p}_{n}}$ för varje givet naturligt tal n > 0. Av 1. och 2. följer alltså att ${{p}_{n}}$ är sant för alla naturliga tal n > 0.

Vi har alltså en följd av påståenden som uppfyller att det första är sant samt att varje påstående i följden, utom det första, är en konsekvens av det föregående. Då måste alla påståenden i följden vara sanna.

När man genomför ett induktionsbevis behöver man alltså

Ett induktionsbevis

Vi skall bevisa att $1\text{ }+\text{ }2\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }4\text{ }+\text{ }\ldots .\text{ }+n\text{ }=~\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$ föralla naturliga tal n > 0 med matematisk induktion.

Vi tänker oss denna följd av påståenden:

${{p}_{1}}:1=\frac{1(1+1)}{2}$

${{p}_{2}}:1+2=\frac{2(2+1)}{2}$

${{p}_{3}}:1+2+3=\frac{3(3+1)}{2}$

$\vdots $

${{p}_{n}}:1\text{ }+\text{ }2\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }\ldots .\text{ }+n\text{ }=~\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$

${{p}_{n+1}}:1\text{ }+\text{ }2\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }\ldots .\text{ }+\text{ }n+\text{ }n+1\text{ }=~\frac{\left( n+1 \right)\left( \left( n+1 \right)+1 \right)}{2}=\frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{2}$

 

Vi ser att det första påståendet, ${{p}_{1}}$, är sant. Det är ju ekvivalent med påståendet att 1 = 1.

Vi skall nu visa att varje påstående utom det första är en konsekvens av det föregående d.v.s. ${{p}_{n}}\Rightarrow {{p}_{n+1}}$ för alla naturliga tal n > 0.

 \[{{p}_{n}}\Rightarrow 1\text{ }+\text{ }2\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }4\text{ }+\text{ }\ldots .\text{ }+n\text{ }=~\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\Rightarrow \][vi adderar n + 1 till vänster och höger led] \[\Rightarrow 1\text{ }+\text{ }2\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }4\text{ }+\text{ }\ldots .\text{ }+n+n+1\text{ }=~\frac{n\left( n+1 \right)}{2}+n+1\]= [vi gör liknämnigt i högerledet] $\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=[vi\text{bryter ut (}n\text{+1) i t }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ljaren }\!\!]\!\!\text{  =}\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ .
Vi har alltså visat att \[{{p}_{n}}\Rightarrow 1\text{ }+\text{ }2\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }4\text{ }+\text{ }\ldots .\text{ }+n+n+1\text{ }=~\frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{2}\], d.v.s.${{p}_{n}}\Rightarrow {{p}_{n+1}}$ .
Detta innebär att induktionsbeviset är klart.