Hem

Matematik med Excel

Inledning till derivatan

Derivatan av sinus och cosinus

Kvadreringsregeln

Division av bråk ...

Pythagoreiska taltrippler

Kedjeregeln

Teckenregler

Bråk

Andragradsekvationer

Induktionsbevis

Logaritmer

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MathType till lägsta pris.

MathType är en kraftfull interaktiv formeleditor för Windows och Macintosh Med mathType kan du skapa matematiska formler för ordbehandling, webbsidor, desktop publishing, presentationer, eLearning och för TeX-, LaTeX- och MathML-dokument.

MathType är lättare och snabbare att arbeta med än ekvationsverktyget i Word.

 

Autograph, tredje generationens grafritare för skolor och universitet.

Derivator, integraler, analytisk geometri, statistik och sannolikhetslära

Nu med svenskt gränssnitt.

FX Draw, ett lättanvänt och kraftfullt ritprogram för matematiklärare och elever.

FX Graph, ett suveränt lättanvänt grafritarprogram.

Gratis läromedel i religion, 49 arbetsområden i Religion A samt En Historia om Kristendomen

 

 

Logaritmer

10-logaritmer

Om b > 0, finns exakt en lösning till ekvationen ${{10}^{x}= b}$ .
x kallas 10-logaritmen för b.
10-logaritmen för b skrivs lg b.

 

 

Vi har alltså att ${{10}^{x}}=b\Leftrightarrow x=\lg b$

Detta innebär att

${{10}^{\lg b}}=b$ för alla x > 0

 

och

$\lg {{10}^{x}}=x$ för alla x.

 

Exempel

Vi har att 100 = ${{10}^{2}}$.

Detta innebär att 10-logaritmen för 100 är 2 eller lg 100 = 2    

Exempel

Vad är lg 0,01?

Vi har att lg 0,01 = x $\Leftrightarrow {{10}^{x}}=0,01$

Problemet blir alltså att skriva 0,01 som ${{10}^{x}}$ för något värde på x. Men ${{10}^{-2}}=0,01$. Alltså är lg 0,01 = -2.

Exempel

Bestäm $\lg \sqrt{10}$.

Vi har att $\sqrt{10}={{10}^{\frac{1}{2}}}$.

Alltså är $\lg \sqrt{10}$ = $\lg {{10}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$

 

1:ta logaritmlagen $\lg xy=\lg x+\lg y$, x > 0, y > 0

 

Vi utgår ifrån denna potenslag, ${{10}^{u}}\cdot {{10}^{v}}={{10}^{u+v}}$ för alla u och v.

Vi undersöker $\lg xy$

Vi skriver $x={{10}^{\lg x}}$ och $y={{10}^{\lg y}}$.

Vi får då $\lg xy=\lg {{10}^{\lg x}}{{10}^{\lg y}}=\lg {{10}^{\lg x+\lg y}}=\lg x+\lg y$

Vi har bevisat första logaritmlagen.

$\lg xy=\lg x+\lg y$, x > 0, y > 0

 

2:ra logaritmlagen $\lg \frac{x}{y}=\lg x-\lg y$, x > 0, y > 0

Vi utgår från denna potenslag $\frac{{{10}^{x}}}{{{10}^{y}}}={{10}^{x-y}}$

Vi skriver $x={{10}^{\lg x}}$ och $y={{10}^{\lg y}}$.

Vi får då $\lg \frac{x}{y}=\lg \frac{{{10}^{\lg x}}}{{{10}^{\lg y}}}=\lg {{10}^{\lg x-\lg y}}=\lg x-\lg y$.

Vi har bevisat andra logaritmlagen

$\lg \frac{x}{y}=\lg x-\lg y$, x > 0, y > 0

 

3:je logaritmlagen $\lg {{x}^{y}}=y\lg x$, x > 0, alla y

Vi utgår från denna potenslag ${{\left( {{10}^{a}} \right)}^{b}}={{10}^{ab}}$

Vi skriver $x={{10}^{\lg x}}$.

$\lg {{x}^{y}}=\lg {{\left( {{10}^{\lg x}} \right)}^{y}}=\lg {{10}^{y\lg x}}=y\lg x$

Vi har därmed bevisat 3:je logaritmlagen

$\lg {{x}^{y}}=y\lg x$, x > 0, alla y

a-logaritmer

Låt $a>0$och $a\ne 1$. $y>0$.


Definition

${}^{a}\log \,y$ (a-logaritmen för y) är den unika lösningen till ekvationen $y={{a}^{x}}$

Konsekvenser av denna definition är

1. ${}^{a}\log \,y=x\Leftrightarrow {{a}^{x}}=y$

2. ${{a}^{{}^{a}\log \,y}}=y$ för alla y > 0, ty ${}^{a}\log \,y$ är lösningen till ekvationen $y={{a}^{x}}$.

3. ${}^{a}\log \,{{a}^{x}}=x$ för alla x, ty ${{a}^{x}}={{a}^{x}}$ för alla x.

Man kan på motsvarande stt som ovan bevisa logaritmlagarna

${}^{a}\log xy={}^{a}\log x+{}^{a}\log y$, x > 0, y > 0

${}^{a}\log \frac{x}{y}={}^{a}\log x-{}^{a}\log y$, x > 0, y > 0

${}^{a}\log {{x}^{y}}=y{}^{a}\log x$, x > 0, alla y