Hem

Matematik med Excel

Inledning till derivatan

Derivatan av sinus och cosinus

Kvadreringsregeln

Division av bråk ...

Pythagoreiska taltrippler

Kedjeregeln

Teckenregler

Bråk

Andragradsekvationer

Induktionsbevis

Logaritmer

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MathType till lägsta pris.

MathType är en kraftfull interaktiv formeleditor för Windows och Macintosh Med mathType kan du skapa matematiska formler för ordbehandling, webbsidor, desktop publishing, presentationer, eLearning och för TeX-, LaTeX- och MathML-dokument.

MathType är lättare och snabbare att arbeta med än ekvationsverktyget i Word.

 

Autograph, tredje generationens grafritare för skolor och universitet.

Derivator, integraler, analytisk geometri, statistik och sannolikhetslära

Nu med svenskt gränssnitt.

FX Draw, ett lättanvänt och kraftfullt ritprogram för matematiklärare och elever.

FX Graph, ett suveränt lättanvänt grafritarprogram.

Gratis läromedel i religion, 49 arbetsområden i Religion A samt En Historia om Kristendomen

 

 

Teckenregler

minus*plus = minus och minus*minus = plus

Man brukar ofta säga att vi har teckenreglerna

minus*plus = minus

och

minus*minus = plus.

Vad man då menar är egentligen

att produkten av ett negativt och ett positivt tal är ett negativt tal

och

att produketen av två negativa tal är ett positivt tal.

Vi skall bevisa att

1. $\left( -2 \right)\cdot 3=-6$

och

2. $\left( -2 \right)\cdot \left( -3 \right)=6$

För att kunna bevisa något i matematiken är det nödvändigt att man har något att utgå ifrån. Vi kommer att använda en definition av vad som menas med -a om a är ett reell tal. Vi kommer också att använda och att man kan multiplicera in i parenteser, på det sätt som beskrivs i den s.k. distributiva lagen.

 

 

 

Bevis av 1

Vi har att

$0=0\cdot 3=\left( 2-2 \right)\cdot 3=\left( 2+\left( -2 \right) \right)\cdot 3=2\cdot 3+\left( -2 \right)\cdot 3=6+\left( -2 \right)\cdot 3$

Detta ger

$\left( -2 \right)\cdot 3=-\left( 2\cdot 3 \right)=-6$

1. är därmed bevisat.

Bevis av 2

Vi har att

$0=\left( -2 \right)\cdot 0=\left( -2 \right)\cdot \left( 3-3 \right)=\left( -2 \right)\cdot \left( 3+\left( -3 \right) \right)=\left( -2 \right)\cdot 3+\left( -2 \right)\cdot \left( -3 \right)=$

$-6+\left( -2 \right)\cdot \left( -3 \right)$

Av

$0=-6+\left( -2 \right)\cdot \left( -3 \right)$

drar vi slutsatsen att

$\left( -2 \right)\cdot \left( -3 \right)=6$

 

 

Definition av -a

-a är det unika tal som adderat till a ger resultatet 0.

Detta innebär att -a är den unika lösningen till ekvationen a + x = 0.

-a kallas den additiva inversen till a.

Eftersom -a + a = a + (-a) = 0 är a den additiva inversen till -a.

Men den additiva inversen till -a kan skrivas -(-a).

Alltså gäller att -(-a) = a.

(-1)$\cdot$a = -a

(-1)$\cdot$a = -a eftersom a + (-1)$\cdot$a = 1$\cdot$a + (-1)$\cdot$a = (1 + (-1))$\cdot$a = 0$\cdot$a = 0

Byta tecken på ett tal

Ibland är det bra att anse att -a har uppkommit genom att man bytt tecken på a.

-3 kan anses ha bildats genom att man bytt tecken på 3.

Eftersom 3 = -(-3) kan man anse att 3 har uppkommit genom att man bytt tecken på -3.

Definition av a - b

a - b är det unika tal som adderat till b ger resultatet a.

Detta innebär att a - b är den unika lösningen till ekvationen b + x = a.

a - b = a + (-b)

Vi har att b + (a + (-b)) = a. (a + (-b)) är en lösning till ekvationen b + x = a. Därför är a - b = a + (-b)

Distributiva lagen - multiplicera in i en parentes eller bryta ut ur en parentes

För alla reella tal a, b och c gäller.

a(b + c) = ab + ac

När man går från a(b + c) till ab + ac säger man att man har multiplicerat in a i parentesen (b + c).

När man går från ab + ac till a(b + c) säger man att man har brutit ut faktorn a ur summan ab + ac.

Associativa lagen för addition

För alla reella tal a, b och c gäller.

a + (b + c) = (a + b) + c

Detta innebär att man kan skriva

a + b + c utan att det blir något missförstånd.

Bevis av några räkneregler

3. (-a)b = -ab för alla värden på a och b.

När man skriver -ab menar man -(ab) d.v.s. det tal som adderat till ab ger resultatet 0.

Vänsterledet har bildats genom att man bildat-a och sedan multiplicerat resultatet med b.

Högerledet har bildats genom att man först har multiplicerat a och b

 

Bevis av 3

Vi har att (-a)b + ab = (vi bryter ut b) =(-a + a)b = 0$\cdot $b = 0.

(-a)b är därför det tal som adderat till ab ger reultstet 0.

Alltså har vi visat att (-a)b = -ab.

4. (-a)$\cdot $(-b) = a$\cdot $b

Bevis: (-a)$\cdot $(-b) = -(a$\cdot $(-b)) enligt 3.

-(a$\cdot $(-b)) = -(-(a$\cdot $b)) enligt 3.

-(-(a$\cdot $b)) = a$\cdot $b enligt regeln -(-a) = a.

(-a)$\cdot $(-b) = a$\cdot $b

5. -(a - b) = b - a

Bevis: (a - b) + (b - a) = a - b + b - a = a - a + b - b = 0 + 0 = 0.

Alltså är b - a det tal som adderat till a - b ger resultatet 0.

Alltså är b - a = -(a - b).